المفاهيم في الرياضيات

المفاهيم في الرياضيات

• مقدمة :
مما لاشك فيه أن تدريسنا لمادة الرياضيات يمر بأشياء كثيرة منها ما هو رئيسي ومطلوب ومنها ما هو ثانوي ويتطلب دراية كافية بمعرفة المتطلبات الرئيسية ، ومن أوائل هذه الأشياء الرئيسية التي يتعلمها الطالب ( المفاهيم الرياضية )0 والتي تعتبر هي نقطة الانطلاق في تعلم الرياضيات 0
فبعد إدراك المتعلم لهذه المفاهيم يبدأ في التحسس لمعرفة خواصها وبعض العلاقات المرتبطة بها وفي النهاية يصل إلى نواتج معينة تؤدى إلى ( تعاميم ) وهي صيغ تنطبق على مجموعة من الأشياء فالتعميمات هي الأساس الثاني التي يجب أن يتعلمها متعلم الرياضيات حيث تعتبر المفاهيم والتعميمات الأساس لمعارف أخرى يتطلبها متعلم الرياضيات ألا وهي ( المهارات ) التي تعتبر الأساس الثالث من أساسيات تعلم الرياضيات0
مما سبق يتبين لنا أن متعلم الرياضيات يجب أن يتعلم ثلاثة أشياء رئيسية مرتبطة بعضها البعض
( مفاهيم- تعاميم – مهارات ) وسوف نتحدث بشيء من الشرح والأمثلة لكل عنصر من العناصر الثلاثة التي نعتبرها من وجهة نظرنا رئيسية ، ويجب على كل معلم أن يكون ملما بها ليستطيع بها ومن خلالها التعامل مع المتعلمين 0
•
• المفهوم :
أن لفظ مفهوم يعتبر من الألفاظ الغامضة التي يكتنفها كثير من اللبس، ونتيجة لذلك وجد أكثر من تعريف فالمتخصصون في التربية يعرفون المفهوم بأنه " قاعدة قراريه عندما تطبق على وصف شيء ما تحدد ما إذا كأن يعطى اسما أم لا "
كما عرف آخرون المفهوم بأنه " مجموعة من الأشياء أو الأشخاص ، أو الحوادث ، أو العمليات ، التي يمكن جمعها معاً ".
فمثلاً عندما يتعلم الطالب أن الشكل الرباعي كلمة تطلق على أي شكل له أربعة أضلاع فتصبح لديه قاعدة يستطيع من خلالها الحكم على أي شكل بمجرد النظر هل هو رباعي أم لا ؟ .
كما عرف من قبل آخرون بأنه " هو المعنى الذي يدل عليه رمز أو مصطلح ما "0
وفي الرياضيات يمكن تعريف المفاهيم الرياضية بأنها المصطلحات أو الألفاظ التي لها مدلول رياضي 0
•
• تصنيف جونسون ورازينج للمفاهيم الرياضية :
حيث تم تصنيف المفاهيم الرياضية إلى الأصناف التالية:
1. مفاهيم متعلقة بالمجموعات يتم التوصل إليها من خلال تعميم الخصائص على الأمثلة أو الحالات الخاصة على المفهوم . مثل مفهوم العدد 3 ، ومفهوم المربع ، دالة كثير الحدود .
2.
3. مفاهيم متعلقة بالإجراءات تركز على طرق العمل . كمفهوم جمع المصفوفات ، والقسمة المطولة...الخ.
4.
5. مفاهيم متعلقة بالعلاقات تركز على عمليات المقارنة والربط بين عناصر مجموعة أو مجموعات. كمفاهيم المساواة ، وعلاقة الترتيب : > ، < ، = .
6.
7. مفاهيم متعلقة بالبنية أو الهيكل الرياضي . كمفهوم الانغلاق ، والعنصر المحايد ، التجميع ، الإبدال ، العملية الثنائية .
8.
o
o استراتجياتتعلمالمفاهيمالرياضيةوتدريسها:
عندتدريسالمفاهيمتتبعمجموعةمنالاستراتيجياتبحيثتتكونكلاستراتيجيةمنمجموعةمتتابعةمنالتحركاتيقومبتنفيذهاالمعلموتشكلمهمةإكسابالمفهومجزءاًرئيسياًمنعمليةالتعليمداخلغرفةالصفحيثيقومالمعلمونبصورةمستمرةبتعليممفاهيمجديدةومتنوعةللطلبةوبطرقوأساليبمختلفة.
وأندراسةالإستراتيجياتوأثرهاعلىتعلمالمفاهيممنالموضوعاتالحيويةوالمهمةلاكتسابالمفاهيم. وأمامالمعلممجالواسعمنالاستراتيجياتالمختلفةلتعليمالمفاهيمالرياضية. ومنهذهالاستراتيجياتالمتبعةمايتضمن:
1.
2. تحرُّكالمثال( أمثلةايجابية).
3.
4. تحرُّكاللامثال( أمثلةسلبية).
5.
6. تحرُّكالتعريف.
7.
8. تحرُّكاللامثالمعالتبرير.
9.
10. تحرُّكتقويمالتعلم.
ويمكنإيضاحذلكبالمثالالآتي:
عندتدريسمفهومالزاويةالمحيطيةفإنالاستراتيجيةالتييمكنإتباعهامنقبلالمعلم هي:
1.
2. تحرُّكالمثال: (تقديمأمثلةإيجابيةعلىالزاويةالمحيطية).








2.
3. تحرُّكاللامثال: (تقديمأمثلةسلبيةعلىزواياغيرمحيطية).





3.
4. تحرُّكالتعريف: حيثيقدمفيهذاالتحركالشروطالكافيةوالضروريةلتكونالزاويةالمرسومةفيدائرةمحيطيةوهي:
•
• أنيكونضلعاهاوترانفيالدائرة0
•
• أنيقعرأسهاعلىمحيطالدائرة0
ويوجهالمعلمنظرطلابهإلى" الأمثلةالأولى"
4.
5. تحرُّكاللامثالمعالتبرير: يتناقشالمعلممعطلابهحولالأسبابالتيلمتجعلالأشكالالواردةفيتحرُّكاللامثالزوايامحيطية0
6.
7. تحرُّكتقويمتعلمالطلابللمفهوم: ويقدمفيهالمعلمعددمنالتمارينلزوايامحيطيةوغيرمحيطيةليميزالطلاببينهابهدفتقويماكتسابالطلابلهذاالمفهوم0
والملاحظأنهتتباينأساليبالمعلمينفيإعطاءالمفاهيمالرياضيةفمنهممنيبدأبإعطاءتعريفللمفهوم(تحرُّكالتعريف) ثميعطيأمثلةايجابيةعلىالمفهوم(تحرُّكالمثال) ثميعطيأمثلةسلبية(تحرُّكاللامثال) ومنالمعلمينمنيقومبهذهالتحركاتلكنبتتبعمختلفوقديكتفيبتحركواحدأواثنين0
•
• مجموعة من المفاهيم في الرياضيات :
اسم المفهوم اللفظ - الرمز التسلسل
مفهوم العمليات الأربع العمليات الأربع 1
مفهوم الجمع الجمع رمزه ( + ) 2
مفهوم الطرح الطرح رمزه (- ) 3
مفهوم الضرب الضرب رمزه ( × ) 4
مفهوم القسمة القسمة رمزه ( ÷ ) 5


مفهوم المثلث المثلث رمزه  6
مفهوم المثلث القائم الزاوية مثلث قائم الزاوية
أ ب جـ وشكله 7
مفهوم المثلث حاد الزواية مثلث حاد الزوايا
أ ب جـ وشكله  8
مفهوم المثلث المنفرج الزاوية مثلث منفرج الزاوية
أ ب جـ وشكله 9


مفهوم الأشكال الرباعية أ ب جـ د
الأشكال الرباعية



10
مفهوم المربع
، المربع
أ ب جـ د وشكله 11
مفهوم المستطيل ، المستطيل
أ ب جـ د وشكله 12
مفهوم المعين ، المعين
أ ب جـ د



13
مفهوم شبه المنحرف ، شبه المنحرف



14
مفهوم متوازي الأضلاع ، متوازي الأضلاع



15


مفهوم التكامل ، تكامل الدالة 16
مفهوم التفاضل د(س) ، تفاضل ، 17
مفهوم الدائرة
(م، نق) ، الدائرة ، 18
مفهوم المجموعة الجزئية ، المجموعة الجزئية 19

•
• استخدامات المفاهيم :
يمكن استخدام المفاهيم فيما يأتي:
1. التصنيف :
2.
إذا أخذنا مفهوم المثلث فإن أحد الأشياء التي يمكن أن نتعلمها بهذا المفهوم هو أن نتعرف على أمثلة لمثلثات ، كما يمكننا التعليل على صحة تصنيفنا0
2. التمييز بين الأشياء :
3.
الطالب الذي لديه مفهوم العدد الطبيعي يمكنه أن يميز عدداًطبيعيا من بين أعداد أخرى0
3. الاتصال والتفاهم :
4.
عند تدريس جمع الكسور ذات المقامات المختلفة لا يستطيع المعلم التفاهم مع الطلاب الذين ليس لديهم أي معرفة بالمصطلحات التي سيتطرق إليها مثل(كسور متساوية ، مقامات ، مضاعف مشترك ، 00)


4. التعميم :
5.
من خلال معرفتنا بالمفاهيم ( ارتفاع ، منصف ، قاعدة ، مساحة ، محيط ، تشابه ، 000 ) في المثلثات يمكن عمل تعميمات عليها وتعرف هذه التعميمات بالنظريات كما في المرحلة الإعدادية مثل ( مجموع زوايا المثلث تساوي 180 درجة ) ، 000الخ .
•
• التعميمات :
بعد أن يدرك المتعلم بعض المفاهيم الرياضية مثل العمليات الأربع ، الأشكال الهندسية ( المثلث ، المربع ، المستطيل ، المعين ، شبه المنحرف ، متوازي الأضلاع ، 000) فأنه يستطيع دراسة خواص هذه الأشياء والعلاقات بينها حسب نوعها ويستنتج من هذه الدراسة تعميمات أي صيغ تسرى على مجموعة من الأشياء والنظم الرياضية تتضمن ثلاثة أنواع من التعميمات ( مسلمات ، تعاريف ، نظريات )0
* المسلمات : صيغ تقبل بدون برهان 0 مثل ( أي نقطتان تقعان على خط واحد) .
* التعريف : هو تعبير عن معنى مصطلح أو لفظ أو عبارة ما أتفق عليها عالميا. ويكون التعريف جيداً إذا توفرت فيه الصفات التالية:
1. أن يشتمل التعريف على المصطلح المعرف0
2.
3. أن تكون الكلمات المستخدمة في التعريف كلمات سبق تعريفها أو اتفق على أنها لامعرفات0
4.
5. يمكن استخدام التعريف في البرهان0
6.
7. ألا يكون محملا بأكثر مما يحتمل0
8.
9. أن يكون التعريف قابلا للعكس0
10.
* النظريات : هي تقارير ثبت صحتها باستخدام المسلمات و التعاريف ونظريات أخرى سبق إثباتها ويكثر وجود النظريات في الهندسة0
•
• المهارات :
عرف التربويون المهارة بأنها : إنجاز العمل بدقة وبدون أخطاء وفي أسرع وقت وبأقل جهد . فالمتعلم الذي يجري عملية ما بسرعة ويخطئ فيها كاملةً أو في بعض خطواتها لم يكتسب المهارة في إجراء هذه العملية بصورة صحيحة ، والمتعلم الذي يجري العملية بدقة وبدون أخطاء لكنه يستغرق وقتاً طويلاً فيها لم يكتسب المهارة في إجراء هذه العملية بصورة صحيحة ، والمتعلم الذي يجري العملية بدقة وبسرعة ولكنه يبذل جهداً جسدياً أو ذهنياً كبيراً لم يكتسب المهارة في إجراء هذه العملية بصورة صحيحة 0
وبناءً على ذلك يمكن القول أن المهارة تتطلب : ( الدقة – عدم وقوع الأخطاء – الأداء في الوقت المحدد المناسب – الجهد المناسب ) 0
وتلعب المهارات في الرياضيات دورا هاما ومطلوبأ يمكن الحكم على تقدم الطالب في تعلم الرياضيات0
•
• حركات تدريس المهارة :
لتدريس المهارة هناك حركات ينتجها المعلم أثناء تدريسه يمكنه من خلالها إكساب المهارة بصورة صحيحة وتتمثل هذه الحركات في الآتي:
1. حركات تقديم المهارة : و ذلك بتركيز الانتباه وتحديد الهدف منها وإبراز قيمتها وإقناع المتعلمين بأهميتها لإثارة دافعيتهم لتعلم المهارة 0
2.
3. حركات تحديد المهارة : و ذلك بتوضيحها في صورة خطوات متسلسلة بحيث لا ينتقل من خطوة إلا ويتأكد من رسوخها في أذهان المتعلمين ، ويمكن للمعلم أن يشرك بعض المتعلمين فائقي القدرات في مساعدة زملائهم لاكتساب المهارة 0
4.
5. حركات التفسير: و ذلك بانتقاء مثال خاص يتوصل من خلاله المتعلم إلى معرفة وتحديد القواعد المستخدمة في حل هذا المثال ففي هذه الخطوة يتزود المتعلم بنموذج سلوك يمكن محاكاته فيما بعد مع تزويد القدرة على الربط بين المهارات المكتسبة الجديدة والمهارات التي سبق له تعلمها 0
6.
7. حركات التبرير: و ذلك من قيام المعلم بتمكين المتعلم من إدراك صحة أو دقة الخطوات المتسلسلة في اكتساب المهارة وإدراكه بأن هذه الخطوات تعبر عن تعميمات صحيحة ومقبولة 0
8.
9. حركات التمرن على المهارة : المقصود بها تدريب المتعلم لتنمية قدرته على إتمام العمل بسرعة ودقة وهنا نشير إلى أهمية إثارة الدوافع لدى المتعلم لتعلم هذه المهارة والتمرن عليها بتوضيح منفعتها ودفعه للاستمتاع بها وربطه بالتمرن الفعال وذلك ببذل المعلم كل ما في قدرته لتزويد المتعلم بالتغذية الراجعة وتعزيزه أثناء فترة التمرن 0
10.
o
o أنواع المهارات:
هناك عدة أنواع للمهارات منها:
مهارة استخدام الأدوات الهندسية – مهارة الرسم والتمثيل – مهارة حل المسائل بأنواعها – مهارة التفكير بأنواعه ومستوياته0
أهم المراجع المستخدمة


1.
2. الرياضيات أهدافها واستراتيجيات تدريسها ، دكتورة /إحسان مصطفي شعراوي ،دار النهضة العربية ، القاهرة .
3. مفاهيم الرياضيات للأطفال ، الدكتور/ زكري الشربيني ، مكتبة ألا نجلو المصرية، القاهرة ،1410هـ .
4.
5. الرياضيات مناهجها وأصول تدريسها ، الدكتور/ فريد أبو زينة ، دار الفرقان ، عمان ، 1415هـ .